I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗА ЛИНЕЙНО УРАВНЕНИЕ
Линейните уравнения са алгебрични уравнения от вида:
- ax + b = 0, a ≠ 0. а и b са коефициенти, а x е променлива.
- Да решим уравнението, означава да намерим стойността на x: x= – (b/a); при а≠ 0.или да установим, че уравнението няма решение/корен/.
- Равенство от вида ax+b=0 или ax=b наричаме уравнение и при a=0.
- Уравнението 0.x=b при b≠0 – няма корени.
Уравнението 0.x=b при b=0 – има за корен всяко число.
Разнообразни задачи от живота и науката водят до решаване на уравнения. Съставянето на уравнение означава, че задачата се превежда от говорим език и от езика на съответната практическа област, за която се отнася текстовата задача, на езика на математиката.
Процесът на съставяне на уравнение за текстова задача наричаме моделиране, в резултат на което се получава математически модел на задачата.
Съществуват различни видове текстови задачи, които решаваме с математически модел: задачи от движение, от работа, от капитал, от смеси и сплави, от числа. Отделните видове също имат свои подвидове, които имат характерни особености. Но при всички тях се спазва определен алгопитъм – поредица от стъпки, които ще разгледаме по-долу.
II. СТЪПКИ ПРИ СЪЗДАВАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ
ПЪРВА СТЪПКА: Избиране на неизвестна величина
- Означаваме тази величина с X. Обикновено с X означаваме търсената величина, но в някои задачи е допустимо за неизвестна да изберем величина, която е пряко свързана с търсената.
ПРИМЕРИ:
За илюстрация ще разгледаме решението на три задачи от различни видове – задача с числа, задача от движение по вода и най-прост пример на задача от капитал.
Задача1: Цифрата на десетиците на едно двуцифрено число е с две по-голяма от цифрата на единиците му. Намерете числото, ако сборът на цифрите му е една седма част от самото число.
В задачата търсим двуцифреното число, но с X означаваме цифрата на единиците. Друг вариант е с X да означим цифрата на десетиците. Търсеното число ще намерим, като получим тези две цифри.
*******************
Задача2: Моторна лодка изминава разстоянието от Русе до Силистра и обратно за 8 часа. Да се намери колко км е пътувала лодката по реката, ако скоростта на течението е 3 км/ч, а скоростта на лодката по течението е 21 км/ч.
В задачата търсим цялото разстояние на отиване и връщане, но с X означаваме само половината от него, като съобразяваме, че на отиване и връщане разстоянието е еднакво
*******************
Задача3: Семейство влага спестяванията си в едногодишен срочен влог в банка при годишна лихва 20 %. След една година закриват сметката, в която има 14400 лв. Колко са били първоначалните им спестявания?
В тази задача търсеното oзначаваме с X.
- Допустимите стойности на променливата се съобразяват в хода на решаването на задачата.
ВТОРА СТЪПКА: Описание на връзките между известните и неизвестни величини в задачата
- Изразяване и опростяване на връзките между тях;
- Въвеждане на подходящи математически означения и графично представяне;
- Привеждане на величините в съответните мерни единици;
- Чрез разсъждения привеждане текста на задачите в математически запис;
Допустимо е използване на чертежи, таблици и други начини за онагледяване на условието на задачата.
Примери:
по задача 1: Цифрата на единиците означихме с X, тогава според условието на задачата цифрата на десетиците ще бъде 2+X. Определяме Д.С. за X. В случая може да е число от 0 до 7. Сборът от цифрите ще бъде X+2+X=2X+2.
За да изразим търсеното число използваме, че щом 2+X е цифрата на десетиците, това число ще го представим с израза така: 10. (2+X). /Защо става така?/
За да си припомниш защо става така, виж следната информация;
Цифрата на единиците е X, цифрата на десетиците 2+X, тогава двуцифреното число ще запишем така: 10. (2+X)+X /сбор от десетици + единици/.
*******************
по задача 2:
Когато решаваме задачи от движение използваме величините път, скорост и време и връзките между тях, изразени със следните формули:
Когато движението е по въздух или вода важат и следните формули:
При решаване на задачата можем да направим чертеж, на който отбелязваме даденото.
В стъпка 1 означихме с X разстоянието между двете пристанища. Определяме Д.С. X>0, тъй като разстоянието не може да бъде отрицателно число или нула. Скоростта по течението е 21 км /ч. Времето, за което се изминава разстоянието X e X:21. Скоростта на течението е 3 км/ч. Тогава скоростта на лодката в спокойни води е 21 – 3 =18 км/ч. Използвайки формулите по-горе намираме, че скоростта на лодката срещу течението е разлика от скоростта в спокойна вода и скоростта на течението. Тогава срещу течението лодката се движи със скорост 18 – 3=15 км/ч. С тази скорост лодката изминава X км. Времето, за което ще измине това разстояниеспоред формулите по-горе ще бъде X:15.
Тези разсъждения можем да включим в таблица, която изглежда по следния начин:
*******************
по задача 3: Първоначалната сума, която семейството е вложило означихме с X в стъпка 1. Определяме Д.С. X>0. За да намерим лихвата за една година умножаваме 20% по първоначалната сума. Получаваме: 20%.X и към този израз добавяме X, за да получим сумата след 1 година. Получава се израза: X+20%.X=X+0,20X /Използваме, че1% =0,01/
ТРЕТА СТЪПКА: Съставяне на математически модел
- Съставяне на линейно уравнение;
При тази стъпка изравняваме величините, за да получим уравнение.
Примери:
В задача 1 според условието сборът на цифрите т.е. 2X+2 е една седма част от самото число, което низразихме с израза: 10. (2+X)+X. Изравняваме двете и получаваме уравнението:
*******************
В задача 2 времето по течението събираме с времето срещу течението, за да получим цялото време, което в задачата е 8 часа. В резултат получаваме уравнението:
*******************
В задача 3 получихме израза X+0,20X, което е сбора от първоначалната сума + лихвата за една година. По условие този сбор е 14400 лв., затова като ги приравним, получаваме уравнението :
X+0,20X=14400
ЧЕТВЪРТА СТЪПКА: Решаване на математическата задача
При тази стъпка решаваме полученото уравнение и проверяваме дали коренът му е от допустимите стойности на избраната променлива X.
Примери:
Задача1:
Получената стойност е от Д.С.
*******************
Задача 2
Решайки второто уравнение, получаваме X=70>0. Коренът е от Д.С.
*******************
Задача 3
Решайки третото уравнение, получаваме X=12000>0. Коренът е от Д.С.
ПЕТА СТЪПКА: Записване с думи отговора на задачата.
Съобразяваме получената стойност на X с условието на задачата. Трябва да имаме предвид, че в някои задачи намирането на X не означава, че сме намерили отговора на задачата. Това става тогава, когато с X сме означили не търсената величина, а свързана с нея.
Такъв е случая с 1 и 2 задача.
1 задача: Получихме X=2. Това е цифрата на единиците на числото. Цифрата на десетиците е X+2= 2+2=4.
Отговор: ЧИСЛОТО Е 42
*******************
2 задача: X=70 С X означихме разстоянието от Русе до Силистра. Търсим целия изминат път на отиване и на връщане.
Отговор:140 КМ Е ТЪРСЕНОТО РАЗСТОЯНИЕ
*******************
В 3 задача намирането на X е отговора на задачата.
Отговор: Първоначалната сума, внесена от семейството е 12000 лв.
