π (произнасяно пи ) е математическа константа, която представлява отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър и обикновено се използва в математиката, физиката и техниката. Името на гръцката буква π се произнася „пи“. π е познато още като Лудолфово число и като Архимедова константа (да не се бърка с Архимедовото число).
В евклидовата геометрия π може да бъде дефинирано както като отношение между дължината и диаметъра на една окръжност, така и като отношение на лицето на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия радиус. Във висшата математика π се дефинира аналитично чрез използване на тригонометрични функции, например като най-малкото положително x, за което sinx = 0, или като удвоеното най-малко положително x, за което cosx = 0(удвоеното най-малко положително x, за което sinx = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни.
Числото π е приблизително равно на 22/7 или на 3,14 с точност до третата значеща цифра. Числовата стойност на π, закръглена до 100-ния знак след десетичната запетая, е
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 …
Приблизителни стойности на π, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (според Архимед) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).
Съществуват различни мнемотехнически начини за лесно запомняне на π. Закръглено с точност до десетия знак, π може да се запомни чрез изречението, в което всяка дума има съответния брой букви:
Как е леко и лесно запомнено Пи, всички знаят, щом желаят!
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6
Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви сметки.
Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със суперкомпютри, определили повече от 1 трилион цифри на π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен персонален компютър може да изчисли трилиони цифри с наличния софтуер. На 31 декември 2009 г. френският програмист Фабрис Белар достигна точност до 2699999990000 цифри при десетична основа, ползвайки компютър с цена под 2000 евро и операционна система 64-битова версия на Red Hat Fedora 10. Конфигурацията включва процесор Core i7 CPU, 2.93 GHz, памет 6 GB и пет диска в масив 7.5 TB RAID-0.
π е ирационално число, т.е. то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Това е доказано през 1761 от Йохан Хайнрих Ламберт. π е също трансцендентно число (доказано през 1882 от Фердинанд фон Линдеман). Това означава, че няма полином с рационални коефициенти, корен на който да е π. Вследствие на трансцендентността π не е построимо число. От изискването координатите на всички точки, които могат да се построят с линия и пергел, да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за квадратурата на кръга (построяване с линия и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг).
С това необичайно число ние се още в началните класове на училището, когато започваме да учим фигурите кръг и окръжност. Числото Пи – математическа константа, която изразява отношението на дължината на окръжността към дължината на диаметъра й. В цифрово изразяване Пи започва като 3.141592 … и има безкрайно математическо очакване.
В рутинните изчисления, ние използваме опростен вариант на числото, оставяйки само два знака след десетичната запетая – 3.14. С поглед към това, веднага става ясно, защо именно днес се чества Световен ден на числото Пи. Смята се, че числото π е открито от вавилонските магове, тъй като съотношението е използвано при строителството на Вавилонската кула. Недостатъчно точното му изчисляване обаче довело до крах на целия проект. Специалистите не изключват същата математическа константа да лежи и в основата на строителството на легендарния храм на цар Соломон. Всяка година на 14 март почитателите на числото Пи в САЩ се събират, за да възхваляват неговото съвършенство и да се състезават кой ще възпроизведе най-дълга поредица от цифрите след десетичната му запетая.
Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви сметки.
Дължина на окръжност с радиус r и диаметър d
Лице на кръг с радиус r
Лице на елипса с полуоси a и b
Обем на кълбо с радиус r и диаметър d
Повърхнина на сфера с радиус r
Обем на цилиндър с височина h и радиус на основата r ,
Повърхнина на цилиндър с височина h и радиус на основата r
Обем на конус с височина h и радиус на основата r
Повърхнина на прав кръгов конус с височина h и радиус r.
Някои изводи от теорията на числата:
Вероятността две произволни цели числа да са взаимно прости е 6/π2.
Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно квадратно число е 6/π2.
Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е π/4.
Произведението от (1-1/p2) за прости p, е 6/π2.
Пи, изчислено до 1 милион знака (от проекта Гутенберг)
Пи, изчислено до почти 2,7 трилиона знака
Най-бързите програми на планетата за изчисляване на числото Пи
Формули за изчисляване на числото Пи
